Mengengleichheit beweisen beispiele Bei Mengengleichheit musst du zeigen, dass B\\(B\\A) \subsetequal\ A\cut\ B und A\cut\ B \subsetequal\ B\\(B\\A) gilt. Nimm dir ein Element aus der ersten. 1 Gilt eine Mengengleichheit so kann man in jedem Ausdruck eine der Mengen durch die andere ersetzen, ohne dass sich die Bedeutung der Aussage ändert. Hintergrund. 2 Beispiel 1. Untersuche, in welcher Beziehung A Mengengleichheit wird auch häufig über eine Teilmengenbeziehung definiert: A = B ⇔ A ⊆ B ∧ B ⊆ A. 3 Ein beliebter Weg ist dabei es sich leicht machen und auf andere Regeln zurückgreifen, um den gewünschten Beweis zu führen (Hier mal ein Beispiel). 4 Definition I. Zwei Mengen sind gleich, wenn sie die gleichen Elemente enthalten. Untersuche, in welcher Beziehung A = { 1, 2, 3, 4, 5 } und B = { 1, 2, 3, 4, 5 } zueinander stehen. A und B sind gleich. In mathematischer Schreibweise sieht diese Definition etwas komplizierter aus. 5 Vorlesung von Prof. Christian Spannagel an der PH Heidelberg. Übersicht über alle Videos und Materialien unter 6 Wie kann man die Gleichheit von Mengen beweisen? Über bereits bewiesene Gesetze der Aussagenlogik. Logisch. 7 Definition Mengengleichheit. Zwei Mengen sind gleich, wenn sie dieselben Elemente enthalten. Beispiel gleicher Mengen. A = {u; v; w} B = {u; v; w}. Also gilt: A = B. Die Menge A ist gleich der Menge B, da sie dieselben Elemente enthält. Dabei ist die Reihenfolge der Elemente unerheblich. 8 Beispiele 1. A2 ⊂ A1 2. A3 ⊂ A1 3. N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R7 4. Seien A = {1,2,{1,3},4} und B = {1,3}. Dann gilt B ∈ A. Sei ferner C = {1,2,4}, dann ist C ⊂ A. Man achte besonders bei Beispiel 4 darauf, dass B ein Element von A ist8! Gleichheit von Mengen Definition Zwei Mengen A und B heißen gleich, wenn sie die gleichen Elemente. 9 A und B sind gleich. Die Teilmengenbeziehung A ⊆ B (oder: B ⊆ A) schließt den Fall der Mengengleichheit A = B mit ein. Aus diesem Grund gibt es neben dem Begriff der Teilmenge auch den Begriff der echten Teilmenge, der die Gleichheit der Mengen ausschließt. mengenbeweise 10 mengen beweise aufgaben lösungen 12